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设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt.求证: (I)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数. (Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt.求证: (I)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数. (Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
admin
2017-05-10
63
问题
设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(t)dt.求证:
(I)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
(Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
选项
答案
(I)F(x)在(一∞,+∞)上有定义,且F(x)=2∫
0
x
tf(t)dt一x∫
0
x
f(t)dt,故F(一x)=2∫
0
-x
(t)dt+x∫
0
-x
f(t)dt. 作换元t=一u,则当t:0→一x → u:0→x,且dt=一du,代入可得[*]有F(一x)=2∫
0
x
(一u)f(一u)(一du)+x∫
0
x
f(一u)(一du) =一2∫
0
x
u[一f(一u)]du+x∫
0
x
[-f(一u)]du =2∫
0
x
uf(u)du+x∫
0
x
f(u)du=一[2∫
0
x
uf(u)du—x∫
0
x
f(u)du]=一F(u), 这表明F(x)是(一∞,+∞)上的奇函数. (Ⅱ)显然F(0)=0,由f(x)在(一∞,+∞)上有连续导数,且f’(0)≠0知[*]使当|x|< δ时f’(x)与f’(0)同号.为确定起见,无妨设f’(0)>0,于是当|x|<δ时f’(x)>0.计算可得F’(x)=2xf(x)一∫
0
x
f(x)dt—xf(x)=xf(x)一∫
0
x
f(t)dt, [*] 故(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PJH4777K
0
考研数学三
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