2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证： (I)若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数． (Ⅱ)(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．

设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证： (I)若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数． (Ⅱ)(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．

admin2017-05-10  47
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证：
(I)若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．
(Ⅱ)(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．
选项
答案(I)F(x)在(一∞，+∞)上有定义，且F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，故F(一x)=2∫0-x(t)dt+x∫0-xf(t)dt． 作换元t=一u，则当t：0→一x → u：0→x，且dt=一du，代入可得[*]有F(一x)=2∫0x(一u)f(一u)(一du)+x∫0xf(一u)(一du) =一2∫0xu[一f(一u)]du+x∫0x[-f(一u)]du =2∫0xuf(u)du+x∫0xf(u)du=一[2∫0xuf(u)du—x∫0xf(u)du]=一F(u)， 这表明F(x)是(一∞，+∞)上的奇函数． (Ⅱ)显然F(0)=0，由f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，且f’(0)≠0知[*]使当｜x｜＜ δ时f’(x)与f’(0)同号．为确定起见，无妨设f’(0)＞0，于是当｜x｜＜δ时f’(x)＞0．计算可得F’(x)=2xf(x)一∫0xf(x)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt， [*] 故(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．
解析
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考研数学三

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