2. 考研
  3. (1998年)已知α1＝[1，4，0，2]T，α2＝[2，7，1，3]T，α3＝[0，1，－1，a]T，β＝[3，10，6，4]T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3

(1998年)已知α1＝[1，4，0，2]T，α2＝[2，7，1，3]T，α3＝[0，1，－1，a]T，β＝[3，10，6，4]T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3

admin2019-08-01  35
问题 (1998年)已知α1＝[1，4，0，2]T，α2＝[2，7，1，3]T，α3＝[0，1，－1，a]T，β＝[3，10，6，4]T，问：
    (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示?
    (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．
选项
答案考虑线性方程组(α1，α2，α3)χ＝β，其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，对其增广矩阵[*]＝[α1 α2 α3 β]作初等行变换： [*] 所以(1)当b≠2时，方程组无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表示；． (2)当b＝2且a≠1时，r(A)＝r([*])＝3，方程组有唯一解： χ＝(χ1，χ2，χ3)T＝(－1，2，0)T， 于是β可唯一表示为β＝－α1＋2α2； (3)当b＝2且a＝1时，r(A)＝r([*])＝2，方程组有无穷多个解： χ＝(χ1，χ2，χ3)T＝k(－2，1，1)T＋(－1，2，0)T， 其中k为任意常数，这时β可由α1，α2，α3线性表示为 β＝－(2k＋1)α1＋(k＋2)α2＋kα3(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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