设α1=(6，—1，1)T与α2=(—7，4，2)T是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是_______。

admin2018-12-29 69

问题设α₁=(6，—1，1)^T与α₂=(—7，4，2)^T是线性方程组

的两个解，则此方程组的通解是_______。

选项

答案(6，—1，1)^T+k(13，—5，—1)^T，k为任意常数

解析一方面因为α₁，α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r(A)=

＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

= —1≠0，所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=

=2。
由n—r(A)=3—2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知
α₁—α₂=(6，—1，1)^T—(—7，4，2)^T=(13，—5，—1)^T
是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为
x=(6，—1，1)^T+k(13，—5，—1)^T，k为任意常数。

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考研数学一

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