2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：(Ⅰ)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：(Ⅰ)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。

admin2018-01-12  40
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

求：(Ⅰ)系数A；
(Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数；
(Ⅲ)边缘概率密度；
(Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。
选项
答案(Ⅰ)根据分布函数的性质 ∫—∞+∞∫—∞+∞f(x，y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae—(2x+3y)=[*]=1，解得A=6。 (Ⅱ)将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x＞0，y＞0时， F(x，y)=∫0x∫0x6e—(2x+3y)dudυ=6∫0xe—2udu∫0ye—3υdυ=(1一e—2x)(1一e—3y)， 而当x和y取其它值时，F(x，y)=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x＞0时，X的边缘密度为 fX(x)=∫0+∞6e—(2x+3y)dy=2e—2x， 当x≤0时，fX(x)=0。因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] (Ⅳ)根据公式 [*] 已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为 P[(X，Y)∈R]=[*]6e—(2x+3y)dxdy=6∫03e—2x[*]e—3ydy=2∫03(e—2x—e—6)dx=1一7e—6≈0．983。
解析
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考研数学三

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