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[2009年] 设有两个数列{an}，{bn}，若an=0，则( )．
[2009年] 设有两个数列{an}，{bn}，若an=0，则( )．
admin
2021-01-15
19
问题
[2009年] 设有两个数列{a
n
}，{b
n
}，若
a
n
=0，则( )．
选项
A、当
b
n
收敛时，
a
n
b
n
收敛[img][/img]
B、当
b
n
发散时，
a
n
b
n
发散[img][/img]
C、当
｜b
n
｜收敛时，
a
n
2
b
n
2
收敛[img][/img]
D、当
｜b
n
｜发散时，
a
n
2
b
n
2
发散[img][/img]
答案
C
解析
下证选项C成立．由
a
n
=0知数列{a
n
}有界，即存在N
1
和M
1
＞0，使当n≥N
1
时，必有｜a
n
｜≤M
1
．
当
｜b
n
｜收敛时，由级数收敛的必要条件知，必有
｜b
n
｜=0．于是数列{b
n
}必有界，
则存在N
2
及M
2
＞0，使当n≥N
2
时必有｜b
n
｜≤M
2
．于是当n≥max{N
1
，N
2
}时，必有
0≤a
n
2
b
n
2
=a
n
2
｜b
n
｜｜b
n
｜≤M
1
2
M
2
｜b
n
｜=M｜b
n
｜ (M=M
1
2
M
2
)．
而级数
M｜b
n
｜收敛，由比较判别法知
a
n
2
b
n
2
收敛．[img][/img]
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Q9q4777K
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考研数学一
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