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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝ax12＋2x22－2x32＋2bx1x3(b﹥0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为﹣12．(1)求a，b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝ax12＋2x22－2x32＋2bx1x3(b﹥0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为﹣12．(1)求a，b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2020-06-05  45
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝ax12＋2x22－2x32＋2bx1x3(b﹥0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为﹣12．(1)求a，b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案(1)二次型f的矩阵为 A＝[*] 设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，依题意有 [*] 由于b﹥0，解得a＝1，b＝2． (2)矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－2)2(λ＋3) 所以得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝﹣3． 当λ1＝λ2＝2时，解方程组(A－2E)x＝0．由 (A－2E)＝[*] 得基础解系为p1＝(0，1，0)T，p2＝(2，0，1)T，p1，p2正交，将其单位化得 q1＝(0，1，0)T，q2＝[*] 当λ3＝﹣3时，解方程组(A＋3E)x＝0．由 (A＋3E)＝[*] 得基础解系为p3＝(1，0，﹣2)T，将其单位化得q3＝[*]．于是正交变换为 [*] 且把二次型f(x1，x2，x3)化为2y12＋2y22－3y32．
解析
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考研数学一

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