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[2010年] 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为y12+y12,且Q的第3列为. 求矩阵A;
[2010年] 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为y12+y12,且Q的第3列为. 求矩阵A;
admin
2019-05-16
90
问题
[2010年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下的标准形为y
1
2
+y
1
2
,且Q的第3列为
.
求矩阵A;
选项
答案
因二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX在正定变换X=QY下的标准形为y
1
2
+y
2
2
,故A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=0.又因Q的第3列为[*],故λ
3
=0对应的线性无关的特征向量为η
3
=[*].因A为实对称矩阵,A的不同特征值对应的特征向量正交.令λ
1
=λ
2
=1对应的特征向量为α=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则α
T
η
3
=x
1
+x
3
=0.易求得对应于λ
1
=λ
2
=1的线性无关的特征向量为α
1
=[0,1,0]
T
,α
0
=[一1,0,1]
T
.单位化得到 η
1
=[0,1,0]
T
,η
2
=[*]. 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q
T
AQ=[*],易求得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/W6c4777K
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考研数学一
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