设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明：若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；

admin2021-10-18 64

问题设f(x)连续，且F(x)=∫₀^x(x-2t)f(t)dt．证明：
若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；

选项

答案设f(-x)=f(x)，因为F(-x)=∫₀^-xt²(-2-2t)f(t)dt→∫₀^x(-x+2u)f(-u)(-du)=∫₀^x(x-2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数．

解析

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