2. 考研
  3. 已知当｜χ｜＜1．时函数f(χ)满足f〞(χ)＋a[f′(χ)]2＝g(χ)，且f′(0)＝0，其中常数a＞0，函数g(χ)在｜χ｜＜1可导且g(0)＝0，g′(0)＞0．试问f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0))是不是曲线y＝f(χ)的拐点?

已知当｜χ｜＜1．时函数f(χ)满足f〞(χ)＋a[f′(χ)]2＝g(χ)，且f′(0)＝0，其中常数a＞0，函数g(χ)在｜χ｜＜1可导且g(0)＝0，g′(0)＞0．试问f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0))是不是曲线y＝f(χ)的拐点?

admin2018-06-12  48
问题 已知当｜χ｜＜1．时函数f(χ)满足f〞(χ)＋a[f′(χ)]2＝g(χ)，且f′(0)＝0，其中常数a＞0，函数g(χ)在｜χ｜＜1可导且g(0)＝0，g′(0)＞0．试问f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0))是不是曲线y＝f(χ)的拐点?
选项
答案由题设知f〞(χ)＝g(χ)－a[f′(χ)]2当｜χ｜＜1时成立，且f(3)(χ)在｜χ｜＜1存在，在上式中令χ＝0得f〞(0)＝0，将上式求导得 f(3)＝g′(χ)＝2af′(χ)f〞(χ) 令χ＝0得f(3)(0)＝g′(0)＞0，从而点(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点． 又因f(3)(0)＝[*]＞0， 在0＜｜χ｜＜δ时[*]＞0，即在(－δ，0)中f〞(χ)＜0，在(0，δ)中f〞(χ)＞0．利用f′(0)＝0即知f′(χ)在(－δ，0)与(0，δ)中都取正值，故f(0)不是函数f(χ)的极值．
解析
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考研数学一

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