设向量组 试问: (1)a为何值时,向量组线性无关? (2)a为何值时,向量组线性相关,此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解.

admin2021-02-25  55

问题 设向量组
  
试问:
(1)a为何值时,向量组线性无关?
(2)a为何值时,向量组线性相关,此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解.

选项

答案依题意有x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0.对方程组的系数矩阵A施以初等行变换,得 [*] 显然,当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0, 此时,方程组的通解为 [*] 其中k1,k2,k3为任意常数. 当a≠0时,由 [*] 显然,当a≠-10时,r(A)=4,故方程组仅有零解,从而α1,α2,α3,α4线性无关. 当a=-10时,r(A)=3<4,此时方程有非零解,从而α1,α2,α3,α4线性相关. 此时通解为 [*]

解析 本题考查向量组线性相关性的定义,并注意到向量组α1,α2,α3,α4线性无关,其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0仅有零解;若向量组α1,α2,α3,α4线性相关,其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0有非零解.
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