2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

admin2019-05-08  46
问题 设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有
           
选项
答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[*]有 f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+[*]f"(ξ)(x－c)2， (*) 其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f’(c)(－c)+[*]f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+[*]f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1． 上面两式相减得 f(1)－f(0)=f’(c)+[*][f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]． 从而f’(c)=f(1)－f(0)+[*][f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得 [*] 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2+c2≤1．
解析
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考研数学三

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