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设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3,试证α1,α2,α3线性无关.
设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3,试证α1,α2,α3线性无关.
admin
2021-02-25
49
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是n维列向量,且α
1
≠0,Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
,试证α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
选项
答案
由Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
,得(A-E)α
1
=0,(A-E)α
2
=α
1
,(A-E)α
3
=α
2
. 设数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使 λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
=0, (1) 用A-E左乘上式两边,得 λ
2
α
1
+λ
3
α
2
=0. (2) 再用A-E左乘(2)式两边,得 λ
3
α
1
=0. 而α
1
≠0,于是λ
3
=0.代入(1)、(2),得 λ
2
=0,λ
1
=0, 故α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
本题考查向量组线性相关性的概念,是比较典型的证明方法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qi84777K
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考研数学二
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