设曲线y=y(x)由方程2y2=e2y-x确定，则下列结论正确的是( )．

admin2022-12-09 30

问题设曲线y=y(x)由方程2y²=e^2y-x确定，则下列结论正确的是( )．

选项 A、曲线y=y(x)有一个极大值点，一个极小值点，没有拐点
B、曲线y=y(x)有一个极大值点，没有极小值点，没有拐点
C、曲线y=y(x)没有极值点，没有拐点
D、曲线y=y(x)没有极值点，有一个拐点

答案D

解析 2y²=e^2y-x两边对x求导得
4yy′=2e^2y·y′-1．
显然y′≠0，即曲线y=y(x)没有极值点；
4yy′=2e^2y·y′-1两边对x求导得
4y′²+4yy″=4e^2y·y^′2+2e^2y·y″，
令y″=0，由y′≠0得y=0，代入2y²=e^2y-x得x=1，
当x=1，y=0时，y′(1)=1/2；
4y^′2+4yy″=4e^2y·y^′2+2e^2y·y″两边对x求导得
8y′y″+4y′y″+4yy′″8e^2yy^′3+12e^2yy′y″+2e^2y·y′″，代入得y′″(1)=1/2.

当x∈(1-δ，1)时，y″(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，y″(x)＜0，
故(1，0)为曲线y=y(x)的拐点，应选(D)．

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考研数学三

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