设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y－X的概率密度fz(z)= ( )

admin2016-09-19 115

问题设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y－X的概率密度f_z(z)= ( )

选项 A、∫_－∞^＋∞f(x，z－x)dx
B、∫_－∞^＋∞f(x，x－z)dx
C、∫_－∞^＋∞f(x，z+x)dx
D、∫_－∞^＋∞f(－x，z+x)dx

答案C

解析记Z的分布函数为F_Z(z)，则
F_Z(z)=P｛Z≤z｝=P｛Y－X≤z｝=

(x，y)dxdy
=∫_－∞^＋∞dx∫_－∞^x+zf(x，y)dy，①
其中D_z=｛(x，y)｜y－x≤z｝如图3-1的阴影部分所示，
∫_－∞^x+zf(x，y)dy

∫_－∞^zf(x，u+x)du．②
将②代入①得
F_Z(z)=∫_－∞^＋∞dx∫_－∞^zf(x，u+x)du=∫_－∞^zdu∫_－∞^＋∞f(x，u+x)dx：
于是f_Z(z)=

=∫_－∞^＋∞f(x，z+x)dx．
因此本题选(C)．

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