2. 考研
  3. 设f(χ)在(－∞，a)内可导，f′(χ)＝β＜0，＝α＞0，求证：f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点．

设f(χ)在(－∞，a)内可导，f′(χ)＝β＜0，＝α＞0，求证：f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点．

admin2019-06-28  55
问题 设f(χ)在(－∞，a)内可导，f′(χ)＝β＜0，＝α＞0，求证：f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点．
选项
答案由极限的不等式性质，[*]δ＞0，当χ∈[a－δ，a)时[*]＞0，即f(χ)＜0，也就有f(a－δ)＜0．[*]χ0＜a－δ，当χ≤χ0时f′(χ)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当χ＜χ0，[*]ξ∈(χ，χ0)使得 f(χ)＝f(χ0)＋f′(ξ)(χ－χ0）≥f(χ0)＋[*](χ－χ0)， 由此可得[*]＝＋∞．[*]χ1＜a－δ使得f(χ1)＞0． 在[χ1，a－δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(χ)在(χ1，a－δ)上至少存在一个零点．
解析
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考研数学二

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