设在平面区域D上数量场u(x，y)=50-x2-4y2，试问在点P0(1，-2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，-2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

admin2016-07-22 83

问题设在平面区域D上数量场u(x，y)=50-x²-4y²，试问在点P₀(1，-2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P₀(1，-2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

选项

答案因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑 [*] 故u(x，y)在点P₀(1，-2)处沿gradu｜_(1，-2)=-2i+16j方向升高最快．设所求的路径为y=y(x)，其上任一点P(x，y)处的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向gradu=-2xi-8yj一致，则有 [*] 求解此微分方程初值问题可知，沿着y=-2x⁴时u(x，y)升高最快．

解析

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考研数学一

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