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考研
证明n阶矩阵相似。
证明n阶矩阵相似。
admin
2015-09-14
75
问题
证明n阶矩阵
相似。
选项
答案
证[*] 所以A与B有相同的特征值λ
1
=n,λ
n
=0(n—1重)。 由于A为实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ
2
E一B)=r(B)=1,所以B的对应于特征值λ
2
=0有n一1个线性无关的特征向量,于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A。再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似。
解析
本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件。本题中计算行列式|AE-A|可以利用行(列)和相等行列式的计算方法。求实对称矩阵A的特征值还可以用下法:因为A的秩为1.所以A只有一个非零特征值λ
1
,其它特征值均为0:λ
2
=…=λ
n
=0,再由λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=(A的对角元之和)λ
2
,知λ
1
=n。本题证法是一个构造性的证明,当λ
2
≤4时计算满足P
-1
AP=B的矩阵P都是比较容易的,当然P不是唯一的。
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考研数学三
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