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  3. 证明n阶矩阵相似。

证明n阶矩阵相似。

admin2015-09-14  38
问题 证明n阶矩阵相似。
选项
答案证[*] 所以A与B有相同的特征值λ1=n，λn=0(n—1重)。 由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ2E一B)=r(B)=1，所以B的对应于特征值λ2=0有n一1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A。再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似。
解析 本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件。本题中计算行列式|AE-A|可以利用行(列)和相等行列式的计算方法。求实对称矩阵A的特征值还可以用下法：因为A的秩为1．所以A只有一个非零特征值λ1，其它特征值均为0：λ2=…=λn=0，再由λ1+λ2+…+λn=(A的对角元之和)λ2，知λ1=n。本题证法是一个构造性的证明，当λ2≤4时计算满足P-1AP=B的矩阵P都是比较容易的，当然P不是唯一的。
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考研数学三

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