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A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3=-2对应的特征向量是ξ3. (I)问ξ1﹢ξ2是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅱ)问ξ2﹢ξ3是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A2的特征向
A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3=-2对应的特征向量是ξ3. (I)问ξ1﹢ξ2是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅱ)问ξ2﹢ξ3是否是A的特征向量?说明理由; (Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A2的特征向
admin
2018-12-21
55
问题
A是3阶矩阵,有特征值λ
1
=λ
2
=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
=-2对应的特征向量是ξ
3
.
(I)问ξ
1
﹢ξ
2
是否是A的特征向量?说明理由;
(Ⅱ)问ξ
2
﹢ξ
3
是否是A的特征向量?说明理由;
(Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A
2
的特征向量,并求对应的特征值.
选项
答案
(I)ξ
1
﹢ξ
2
仍是A的对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量. 因已知Aξ
1
=2ξ
1
,Aξ
2
=2ξ
2
,故 A(ξ
1
﹢ξ
2
)=Aξ
1
﹢Aξ
2
=2ξ
1
﹢2ξ
2
=2(ξ
1
﹢ξ
2
). (Ⅱ)ξ
2
﹢ξ
3
不是A的特征向量.假设是,设其对应的特征值为μ,则有 A(ξ
2
﹢ξ
3
)=μ(ξ
2
﹢ξ
3
), 得 2ξ
2
-2ξ
3
-μξ
2
-μξ
3
=(2-μ)ξ
2
-(2﹢μ)ξ
3
=0, 因2-μ和2﹢μ不同时为零,故ξ
2
,ξ
3
线性相关,这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾, 故ξ
2
﹢ξ
3
不是A的特征向量. (Ⅲ)因A有特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-2,故A
2
有特征值μ
1
=μ
2
=μ
3
=4.对应的特征向量仍是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,且ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.故存在可逆矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),使得 P
-1
A
2
P=4E,A
2
=P(4E)P
-1
=4E, 从而对任意的β≠0,有A
2
β=4EB=4β,故知任意3维非零向量β都是A
2
的对应于特征值μ=4的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S8j4777K
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考研数学二
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