设随机变量X和y独立，且X服从均值为1，标准差为根号2的正态分布，而y服从标准正态分布，试求随机变量z=2X-Y+3的概率密度函数。

admin2011-10-05 82

问题设随机变量X和y独立，且X服从均值为1，标准差为根号2的正态分布，而y服从标准正态分布，试求随机变量z=2X-Y+3的概率密度函数。

选项

答案解：由于X和y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X，y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。由题设知，X～N(1，2)，Y～N(0，1)。则由期望和方差的性质得 E(Z)=E(2X-Y+3)=2E(X)-E(Y)+3=5， D(Z)=D(2X-y+3)=2²D(X)+D(Y)=9。又因X，Y是相互独立的正态随机变量，Z是X，Y的线性函数，故Z也为正态随机变量，即Z～N(μ，σ²)，且 μ=E(Z)=5， σ²=D(Z)=9 则Z的概率密度为 [*]

解析

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设随机变量X和y独立，且X服从均值为1，标准差为根号2的正态分布，而y服从标准正态分布，试求随机变量z=2X-Y+3的概率密度函数。

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