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已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明:ヨx0∈(2π,5π/2)使得∥F"(x0)=0.
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明:ヨx0∈(2π,5π/2)使得∥F"(x0)=0.
admin
2018-06-15
54
问题
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)
2
f(x),证明:ヨx
0
∈(2π,5π/2)使得∥F"(x
0
)=0.
选项
答案
显然F(0)=F(π/2)=0,于是由罗尔定理知,ヨx
1
∈(0,π/2),使得F’(x
1
)=0.又 F’(x)=2(sinx-1)cosxf(x)+(sinx-1)
2
f’(x), [*] 对F’(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在x
0
*
∈(x
1
,π/2)[*](0,π/2),使得F"(x
0
*
)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F’(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数,于是ヨx
0
=2π+x
0
*
,即x
0
∈(2π,5/2π),使得 F"(x
0
)=F"(x
0
*
)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SXg4777K
0
考研数学一
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