设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是

admin2016-10-20 65

问题设A是3阶不可逆矩阵，α₁，α₂是Ax=0的基础解系，α₃是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是

选项 A、α₁+3α₂．
B、α₁-α₂．
C、α₁+α₃．
D、2α₃．

答案C

解析如Aα₁=λα₁，Aα₂=λα₂，则
A(k₁α₁+k₂α₂)=k₁Aα₁+k₂Aα₂=k₁λα₁+k₂λα₂=λ(k₁α₁+k₂α₂)．
因此k₁α₁+k₂α₂是A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确．
设Aβ₁=λβ₁，Aβ₂=μβ₂，λ≠μ，若A(β₁+β₂)=k(β₁+β₂)，则
λβ₁+μβ₂=kβ₁+kβ₂．
即有 (λ-k)β₁+(μ-k)β₂=0．
因为λ-k，μ-k不全为0，与β₁，β₂是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾．从而α₁+α₃不是A的特征向量．故应选(C)．

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考研数学三

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