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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (1)求a的值; (2)求正交变换χ=Qy,把f(χ1,χ2,χ3)化为标准形; (3)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (1)求a的值; (2)求正交变换χ=Qy,把f(χ1,χ2,χ3)化为标准形; (3)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
admin
2017-08-28
49
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=(1-a)χ
1
2
+(1-a)χ
2
2
+2χ
3
2
+2(1+a)χ
1
χ
2
的秩为2.
(1)求a的值;
(2)求正交变换χ=Qy,把f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化为标准形;
(3)求方程f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0的解.
选项
答案
(1)二次型矩阵A=[*]二次型的秩为2,则二次型矩阵A的秩也为2,从而 [*] 因此a=0. (2)由(1)中结论a=0。则A=[*],由特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
, 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 当λ=2,由(2E-A)χ=0,系数矩阵[*],得特征向量α
1
=(1,1, 0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
. 当λ=0,由(0E-A)χ=0,系数矩阵[*],得特征向量α
3
=(1, -1,0)
T
. 容易看出α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化: γ
1
=[*](1,1,0)
T
,γ
2
=(0,0,1)
T
,γ
3
=[*](1,-1,0)
T
那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则在正交变换χ=Qy下,二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化为标准形 f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ=y
T
∧y=2y
1
2
+2y
2
2
. (3)由f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+χ
2
2
+2χ
3
2
+2χ
1
χ
2
=(χ
1
+χ
2
)
2
+2χ
3
2
=0, 得[*] 所以方程f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0的通解为:k(1,-1,0)
T
其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Snr4777K
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考研数学一
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