设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222一223+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

admin2015-09-14 44

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2₂²一2₂³+2bx₁x₃(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案由A的特征多项式 [*] 得A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=一3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E—A)x=0，由 [*] 得基础解系 ξ₁=(0，1，0)^T，ξ₂=(2，0，1)^T。对于λ₃=一3，解齐次线性方程组(一3E一A)x=0，由 [*] 得基础解系 ξ₃=(1，0，一2)^T。 ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，将它们单位化，得 [*] 二次型f在正交变换x=py下的标准形为 f=2y₁ ²+2y₂ ²一3y₃ ²。

解析对于n阶实对称矩阵A，求正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP为对角矩阵，就是求A的n个标准正交的特征向量(它们组成正交矩阵P的列向量组)。如果A的特征值都是单特征值，则由A的n个特征值求到的n个特征向量已经两两正交。如果A有量k_i特征值λ_i。则要求出属于λ_i的k_i个两两正交的特征向量，当方阵A的阶数n较小时，如果能由方程组(λ_iE一A)x=0直接求出正交化的基础解系——即对应于特征值λ_i的正交化的特征向量，这样就可免去施密特正交化过程。

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考研数学三

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