2. 考研
  3. 设函数f(x)在R上连续，且｜f(x)｜≤M．　　 (1)试证明：微分方程y’+y=f(x)在区间R上存在一个有界的解，并求此解． (2)若f(x)是以ω为周期的函数，则上一题中的解也是一个以ω为周期的函数．

设函数f(x)在R上连续，且｜f(x)｜≤M．　　 (1)试证明：微分方程y’+y=f(x)在区间R上存在一个有界的解，并求此解． (2)若f(x)是以ω为周期的函数，则上一题中的解也是一个以ω为周期的函数．

admin2020-03-05  65
问题 设函数f(x)在R上连续，且｜f(x)｜≤M．　　   
(1)试证明：微分方程y’+y=f(x)在区间R上存在一个有界的解，并求此解．
(2)若f(x)是以ω为周期的函数，则上一题中的解也是一个以ω为周期的函数．
选项
答案微分方程y’+y=f(x)的通解为y(x)=e－x[c+∫0xetf(t)dt]，其中c为任意常数． (1)因为函数f(x)在R上连续，取c=∫－∞0etf(t)dt(由假设，此广义积分是收敛的)，则 y(x)=e－x∫－∞xetf(t)dt由于在区间R上，｜f(x)｜≤M，从而｜y(x)｜≤M，即为所给微分方程的一个有界解． (2)设f(x+ω)=f(x)，则对上一题中的解y(x)，当x∈R时，有 y(x+ω)=e－(x+ω)∫－∞(x+ω)etf(t)dt[*]e－(x+ω)∫－∞xeu+ωf(u+ω)du =e－xe－ω∫－∞xeu+ωf(u)du=e－x∫－∞xeuf(u)du=y(x)，所以，所给微分方程的通解y(x)也是一个以ω为周期的函数．
解析 本题的第一部分应先求其通解，再验证它的有界性；第二部分则是判断(1)中的解具有周期性．
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考研数学一

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