2. 考研
  3. [2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(B)-f(A)=f’(ξ)(b-a)． (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(δ＞0)内可导，且，则f’+(

[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(B)-f(A)=f’(ξ)(b-a)． (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(δ＞0)内可导，且，则f’+(

admin2019-04-08  59
问题 [2009年]   (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(B)-f(A)=f’(ξ)(b-a)．
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(δ＞0)内可导，且，则f’+(0)存在，且f’+(0)=A．
选项
答案(I)设想曲线f(x)与直线AB除交于A，B两点外，还交于原点(f(0)=0)，则可构造辅助函数[*]，则[*]由罗尔定理知， 在(a，b)内至少存在一点ξ，使F’(ξ)=0，即 [*] 亦即f(B)-f(A)=f’(ξ)(b-a)． (Ⅱ)任取x∈(0，δ)，在[0，x]上由拉格朗日中值定理得到，存在ξ∈(0，x)，使得 [*] 当x→0+时，ξ→0+．由右导数定义，有 [*]
解析
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考研数学一

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