2. 考研
  3. 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布．(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；(Ⅱ)求

汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布．(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；(Ⅱ)求

admin2018-11-20  43
问题 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布．(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；(Ⅱ)求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度．
选项
答案首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间Xi(i=1，2，3)之间的关系．假设第i辆车加油时间为Xi=1，2，3)，则Xi独立同分布，且概率密度都为 [*] 依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X1，X2)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X3=min(X1，X2)+X3． (I)由于T=min(X1，X2)，其中X1与X2独立，所以T的分布函数 FT(t)=P{min(X1，X2)≤t}=1—P{min(X1，X2)＞t}=1—P{X1＞t}P{X2＞t} [*] T的密度函数fT(t)=[*]即T=min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布． (Ⅱ)S=T+X3=min(X1,X2)+X3，T与X3独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为 fS(s)=∫-∞+∞fT(t)f3(s一t)dt=∫0+∞2λe-2λtf3(s一t)dt [*]∫s-∞2λe-2λ(s-x)f3(x)d(一x) =∫-∞s2λe-2λs.e2λsf3(x)dx [*]
解析
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考研数学三

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