首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1; (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1; (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
admin
2017-08-28
69
问题
设A=I一ξξ
T
,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ
T
是ξ的转置.证明:
(1)A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1;
(2)当ξ
T
ξ=1时,A是不可逆矩阵.
选项
答案
(1)A
2
=(I一ξξ
T
)(I一ξξ
T
)=I一2ξξ
T
+ξξ
T
ξξ
T
=I一2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ
T
=I一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
A
2
=A即I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一ξξ
T
,亦即 (ξ
T
ξ一1)ξξ
T
=O 因为ξ是非零列向量,有ξξ
T
≠0 故A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ一1=0,即ξ
T
ξ=1. (2)用反证法.当ξ
T
ξ=1时A
2
=A,若A可逆,则有 A
—1
A
2
=A
—1
A 即A=I,这与已知的A=I一ξξ
T
≠I矛盾,故A是不可逆矩阵.
解析
本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律,用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律.要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵.这里ξ
T
ξ是一个1阶方阵,即一个数,因此可把它从矩阵乘积中提出来,这是本题化简推证的关键.本题(2)考察可逆矩阵的概念,条件为ξ
T
ξ=1,自然应该联想并应用(1)的结论,并利用反证法(最易),因为当假定A可逆时,就可以用A
—1
进行运算.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T1r4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
曲线y=xe1/x2
设曲面积分其中S+为上半椭球面的上侧.求证其中Ω是上半椭球体:
[*]
(1997年试题,七)已知是矩阵的一个特征向量.问A能否相似于对角阵?说明理由.
求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示:α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10);
设随机变量X的概率密度函数为对X进行两次独立观察,其结果分别记为X1,X2,令求二维随机变量(Y1,Y2)的联合概率分布.
设A,B均是三阶非零矩阵,满足AB=0,其中则()
(2002年试题,十)设A,B为同阶方阵.举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;
当x→1时,函数的极限().
A是三阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ3,λ2=…2对应的特征向量是ξ3证明:任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量,并求对应的特征值。
随机试题
公式“=YEAR(“2015-5-14”)”的值为()
计息余额表填列的依据是()
患者,男,40岁。患十二指肠溃疡,择期经上腹正中切口行胃大部切除术,并置切口内乳胶片引流。正常情况下,该患者拆线时间应为术后
胃气衰败湿邪上泛多见气阴两虚湿热秽浊之邪泛滥多见
下列属于政府实施城市规划的直接主动行为表现的是()。
建筑工程分项工程质量验收合格的规定有()。
作为贷时审查的核心工作,银行必须严格掌握审查的要点,充分防范贷款执行阶段的风险。
我国运输中采用距离运价的有()。
新民主主义革命的领导阶级是()。
下列奖项对应关系正确的是()。
最新回复
(
0
)