设数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有Sn=,证明数列{an}是等差数列.

admin2019-08-06  42

问题 设数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有Sn=,证明数列{an}是等差数列.

选项

答案设a2一a1=d,猜测an=a1+(n一1)d. 当n=1时,a1=a1,∴当n=1时猜测正确. 当n=2时,a1+(2—1)d=a1+d=a2,∴当n=2时猜测正确. 假设当n=k(k≥2)时,猜测正确,即:ak=a1+(k一1)d, 当n=k+1时,ak+1=Sk+1一Sk=[*], 将ak=a1+(k一1)d代入,得到2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)-2ka1-k(k—1)d, 整理得(k一1)ak+1=(k一1)a1+k(k一1)d, 又因为k≥2,所以ak+1=a1+kd,即n=k+1时猜测正确. 综上所述,对所有的自然数n,都有an=a1+(n-1)d,从而数列{an}是等差数列.

解析
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