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  3. 讨论∫1+∞与∫1+∞的敛散性．

讨论∫1+∞与∫1+∞的敛散性．

admin2022-11-23  43
问题 讨论∫1+∞与∫1+∞的敛散性．
选项
答案仅讨论无穷积分∫1+∞[*]，无穷积分∫1+∞[*]有完全相同的结论． (ⅰ)当p＞1时∫1+∞[*]绝对收敛．这是因为｜sinx／xp｜≤1／xp，x∈[1，+∞)，而∫1+∞[*]当p＞1时收敛，故由比较法则推知∫1+∞｜sinx／xp｜dx收敛． (ⅱ)当0＜p≤1时∫1+∞[*]条件收敛，这是因为对任意u≥1．有｜∫1usinxdx｜=｜cos1-cosu｜≤2，而1／xp当p＞0时单调趋于0(x→+∞)，故由狄利克雷判别法推知∫1+∞[*]当p＞0时总是收敛的． 另一方面，由于[*]满足狄利克雷判别条件，是收敛的，而∫1+∞[*]是发散的，因此当0＜p≤1时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 综上所述，∫1+∞[*]与∫1+∞[*]当p＞1时绝对收敛，当0＜p≤1时条件收敛．
解析
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考研数学三

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