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  3. 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

admin2021-11-25  38
问题 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
选项
答案方法一 ∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx－k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx] =(1－k)∫0kf(x)dx－k∫k1f(x)dx =k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)] 其中ξ1∈[0,k],ξ2∈[k,1],因为0＜k＜1且f(x)单调减少， 所以∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0,故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx 方法二 ∫0kf(x)dx[*]k∫01f(kt)dt=k∫01f(kx)dx，当x∈[0,1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x,又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x),两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx,故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx,即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
解析
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考研数学二

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