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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
admin
2021-11-25
51
问题
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
方法一 ∫
0
k
f(x)dx-k∫
0
1
f(x)dx=∫
0
k
f(x)dx-k[∫
0
k
f(x)dx+∫
k
1
f(x)dx] =(1-k)∫
0
k
f(x)dx-k∫
k
1
f(x)dx =k(1-k)[f(ξ
1
)-f(ξ
2
)] 其中ξ
1
∈[0,k],ξ
2
∈[k,1],因为0<k<1且f(x)单调减少, 所以∫
0
k
f(x)dx-k∫
0
1
f(x)dx=k(1-k)[f(ξ
1
)-f(ξ
2
)]≥0,故∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx 方法二 ∫
0
k
f(x)dx[*]k∫
0
1
f(kt)dt=k∫
0
1
f(kx)dx,当x∈[0,1]时,因为0<k<1,所以kx≤x,又因为f(x)单调减少,所以f(kx)≥f(x),两边积分得∫
0
1
f(kx)dx≥∫
0
1
f(x)dx,故k∫
0
1
f(kx)dx≥k∫
0
1
f(x)dx,即∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx.
解析
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0
考研数学二
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