首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
admin
2016-09-13
104
问题
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
选项
答案
首先证明f(x)在(0,π)内必有零点. 因为在(0,π)内f(x)连续,且sinx>0,所以,若无零点,则恒有f(x)>0或f(x)<0,从而有∫
0
π
f(x)sinxdx>0或∫
0
π
f(x)sinxdx<0,与题设矛盾.所以f(x)在(0,π)内必有零点. 下面证明f(x)在(0,π)内零点不唯一,即至少有两个零点. 用反证法.假设f(x)在(0,π)内只有一个零点x
0
,则f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取不同的符号(且不等于零),否则与∫
0
π
f(x)sinxdx=0矛盾.这样,函数sin(x-x
0
)f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取相同的符号,即恒正或恒负. 那么有:∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx≠0.但是 ∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx=∫
0
π
f(x)(sinxcosx
0
-cosxsinx
0
)dx =cosx
0
∫
0
π
f(x)sinxdx-sinx
0
∫
0
π
f(x)cosxdx=0. 从而矛盾,所以f(x)在(0,π)内至少有两个零点.于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0,π),使得fˊ(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TRT4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
A、 B、 C、 D、 B
A、 B、 C、 D、 D
证明下列关系式:A∪B=A∪(B-A)=(A-B)∪(B-A)∪(A∩B).
设f(x,y)在区域D上连续,(xo,yo)是D的一个内点,Dr是以(xo,yo)为中心以r为半径的闭圆盘,试求极限
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,x∈[a,b],证明:(1)Fˊ(x)≥2;(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根.
求下列级数的和;
判别下列级数是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
利用已知函数的幂级数展开式,求下列幂级数的和函数,并指出其收敛区间:
选用适当的坐标计算下列积分:
设随机变量X取非负整数值的概率为P{X=n}=an,则EX=___________.
随机试题
求下列各梁的剪力方程和弯矩方程,做剪力图和弯矩图,并求出|Fsmax|和|M|max
A.红细胞数目B.血浆总蛋白含量C.血浆球蛋白含量D.血浆NaCl含量血浆总渗透压主要决定于
18岁,工作时从10m高处坠落,40分钟后送到医院。查体:神清、腹痛、右大腿畸形,疼痛医生应首先进行哪方面检查
患者,男,67岁。以慢性支气管炎并发慢性阻塞性肺气肿入院。于一阵干咳后突感左上胸剧烈刺痛,出现明显呼吸困难,不能平卧,听诊左肺呼吸音明显减弱。应考虑为()。
大叶性肺炎灰色肝样变期肺实变是因为肺泡腔内充满
下列评价指标中不属于盈利能力分析的是()。
在FIDIC合同条件下,工程结算的冬件包括()。
____________Schreibtischh?ngteineLampe.
Justwhenyouhadfiguredouthowtomanagefatinyourdiet,researchersarenowwarningagainstanothercommonmealtimepitfal
MysonJoeywasbornwithclubfeet.Thedoctorsassuredusthatwithtreatmentbewouldbeabletowalknormally,butwouldnev
最新回复
(
0
)