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设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
admin
2016-09-13
67
问题
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
选项
答案
首先证明f(x)在(0,π)内必有零点. 因为在(0,π)内f(x)连续,且sinx>0,所以,若无零点,则恒有f(x)>0或f(x)<0,从而有∫
0
π
f(x)sinxdx>0或∫
0
π
f(x)sinxdx<0,与题设矛盾.所以f(x)在(0,π)内必有零点. 下面证明f(x)在(0,π)内零点不唯一,即至少有两个零点. 用反证法.假设f(x)在(0,π)内只有一个零点x
0
,则f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取不同的符号(且不等于零),否则与∫
0
π
f(x)sinxdx=0矛盾.这样,函数sin(x-x
0
)f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取相同的符号,即恒正或恒负. 那么有:∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx≠0.但是 ∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx=∫
0
π
f(x)(sinxcosx
0
-cosxsinx
0
)dx =cosx
0
∫
0
π
f(x)sinxdx-sinx
0
∫
0
π
f(x)cosxdx=0. 从而矛盾,所以f(x)在(0,π)内至少有两个零点.于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0,π),使得fˊ(ξ)=0.
解析
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0
考研数学三
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