2. 考研
  3. 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f(ξ)=0．

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f(ξ)=0．

admin2016-09-13  49
问题 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f(ξ)=0．
选项
答案首先证明f(x)在(0，π)内必有零点． 因为在(0，π)内f(x)连续，且sinx＞0，所以，若无零点，则恒有f(x)＞0或f(x)＜0，从而有∫0πf(x)sinxdx＞0或∫0πf(x)sinxdx＜0，与题设矛盾．所以f(x)在(0，π)内必有零点． 下面证明f(x)在(0，π)内零点不唯一，即至少有两个零点． 用反证法．假设f(x)在(0，π)内只有一个零点x0，则f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取不同的符号(且不等于零)，否则与∫0πf(x)sinxdx=0矛盾．这样，函数sin(x－x0)f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取相同的符号，即恒正或恒负． 那么有：∫0πf(x)sin(x－x0)dx≠0．但是 ∫0πf(x)sin(x－x0)dx=∫0πf(x)(sinxcosx0－cosxsinx0)dx =cosx0∫0πf(x)sinxdx－sinx0∫0πf(x)cosxdx=0． 从而矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0，π)，使得fˊ(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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