(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-19 78

问题 (17)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²-x₂²+ax₃²+2x₁x₂-8x₁x₃+2x₁x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求a的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A=[*] 由题设知Q^-1AQ=Q^TAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2，由A的特征方程 [*] =(λ-6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ₁=6，λ₂=-3，λ₃=0．对于λ₁=6，解方程组(6I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₁=[*](1，0，-1)^T；对于λ₂=-3，解方程组(-3I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₂=[*](1，-1，1)^T；对于λ₃=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ₃=[*](1，2，1)^T．因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*].

解析

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考研数学二

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(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

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