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  3. (17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-19  98
问题 (17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A=[*] 由题设知Q-1AQ=QTAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2，由A的特征方程 [*] =(λ-6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ1=6，λ2=-3，λ3=0． 对于λ1=6，解方程组(6I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ1=[*](1，0，-1)T； 对于λ2=-3，解方程组(-3I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ2=[*](1，-1，1)T； 对于λ3=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ3=[*](1，2，1)T． 因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*].
解析
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考研数学二

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