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设f(x)是以T为周期的连续函数. (1)证明:f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k; (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x-[x],求
设f(x)是以T为周期的连续函数. (1)证明:f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k; (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x-[x],求
admin
2016-07-22
72
问题
设f(x)是以T为周期的连续函数.
(1)证明:
f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k;
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x-[x],求
选项
答案
[*] 对于其中的第二个积分,作积分变量变换,令t=u+T,有 [*] 可见,φ(x)为T周期函数的充要条件是[*]可以表示成 [*] 其中φ(x)为某一周期T的函数. [*]
解析
(1)证明能取到常数k使
f(t)dt-kxn以T为周期即可.(1)得到的表达式去求
f(t)dt即可得(2).但请读者注意,一般不能用洛必达法则求此极限,除非f(x)恒为常数.对于(3),由于g(x)不连续,如果要借用(1)的结论,需要更深一层的结论(见下面的[注]).由于g(x)可以具体写出它的分段表达式,故可直接积分再用夹逼定理即得.
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考研数学一
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