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  3. 设f(x)是以T为周期的连续函数． (1)证明：f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x-[x]，求

设f(x)是以T为周期的连续函数． (1)证明：f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x-[x]，求

admin2016-07-22  119
问题 设f(x)是以T为周期的连续函数．
(1)证明：f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k；
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x-[x]，求
选项
答案[*] 对于其中的第二个积分，作积分变量变换，令t=u+T，有 [*] 可见，φ(x)为T周期函数的充要条件是[*]可以表示成 [*] 其中φ(x)为某一周期T的函数． [*]
解析 (1)证明能取到常数k使f(t)dt-kxn以T为周期即可．(1)得到的表达式去求f(t)dt即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得．
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考研数学一

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