2. 考研
  3. 设有向量组α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2a+3，5)T． (1)求向量组α1，α2，α3，α4的秩及其一个极大线性无关组； (2)若β=(0，1，3，6

设有向量组α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2a+3，5)T． (1)求向量组α1，α2，α3，α4的秩及其一个极大线性无关组； (2)若β=(0，1，3，6

admin2017-07-26  6
问题 设有向量组α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2a+3，5)T．
    (1)求向量组α1，α2，α3，α4的秩及其一个极大线性无关组；
    (2)若β=(0，1，3，6)T不能由α1，α2，α3，α4线性表出，求a，b的值；
    (3)若任何4维向量均可由α1，α2，α3，α4，β线性表出，求a，b的值．
选项
答案设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，对(α1，α2，α3，α4，β)作初等行变换，有 [*] (1)当a=[*]时，秩r(α1，α2，α3，α4)=2，极大线性无关组是α1，α2(不唯一，也可以是 α1，α3或α1，α4)； 当a=一1时，秩r(α1，α2，α3，α4)=3，极大线性无关组是α1，α3，α4(或α2，α3，α4)； 当a≠[*]，a≠一1时，秩r(α1，α2，α3，α4)=3，极大线性无关组是α1，α2，α4(或α1α3，α4 或α2，α3，α4)． (2)方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β无解，也就是β不能由α1，α2，α3，α4线性表出，此时条件为：a=[*]或b≠1． (3)任一个4维向量y可由α1，α2，α3，α4，β线性表出的充分必要条件是秩r(α1，α2，α3，α4，β)=4，即a≠[*]且b≠1．
解析
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考研数学三

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