设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（Ⅰ）证明B可逆；（Ⅱ）求AB—1。

admin2017-01-21 109

问题设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。
（Ⅰ）证明B可逆；
（Ⅱ）求AB^—1。

选项

答案（Ⅰ）设E（i，j）是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E（i，j）A，因此有|B|=|E（i，j）||A|=—|A|≠0，所以矩阵B可逆。（Ⅱ） AB^—1=A[E（i，j）A]^—1=AA^—1E^—1（i，j）=E^—1（i，j）=E（i，j）。

解析

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考研数学三

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