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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)。证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)。证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
admin
2019-05-11
107
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)。证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
选项
答案
构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x),由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在x
1
≤x
2
,x
1
,x
2
∈(a,b)使得 [*] 若x
1
=x
1
,令x=x
1
,则F(c)=0。 若x
1
<x
2
,因F(x
1
)=f(x
1
)一g(x
1
)≥0,F(x
2
)=f(x
2
)一g(x
2
)≤0,由介值定理知,存在c∈[x
1
,x
2
] [*] (a,b),使F(c)=0。 在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0。 再对F’(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
) [*] (a,b),有F’’(x)=0,即f’’(ξ)=g’’(ξ)。
解析
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考研数学二
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