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已知函数f(x,y)满足fxy"(x,y)=2(y+1)ex,fx’(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)= y2+2y,求f(x,y)的极值.
已知函数f(x,y)满足fxy"(x,y)=2(y+1)ex,fx’(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)= y2+2y,求f(x,y)的极值.
admin
2021-01-19
50
问题
已知函数f(x,y)满足f
xy
"
(x,y)=2(y+1)e
x
,f
x
’
(x,0)=(x+1)e
x
,f(0,y)= y
2
+2y,求f(x,y)的极值.
选项
答案
由f
xy
"
=2(y+1)e
x
,得f
x
’
=(y+1)
2
e
x
+φ(x). 因为f
x
’
(x,0)=(x+1)e
x
,所以e
x
+φ(x)=(x+1)e
x
. 得φ(x)=xe
x
,从而f
x
’
=(y+1)
2
e
x
+xe
x
. 对x积分得 f(x,y)=(y+1)
2
e
x
+(x一1)e
2
+ψ(y). 因为f(0,y)=y
2
+2y,所以ψ(y)=0,从而 f(x,y)=(x+y
2
+2y)e
x
于是f
y
’
=(2y+2)e
x
,f
xx
"
=(x+y
2
+2y+2)e
x
,f
yy
"
=2e
x
. 令f
x
’
=0, f
y
’
=0,得驻点(0,一1),所以 A=f
xx
"
(0,一1)=1,B=f
xy
"
(0,一1)=0,C=f
yy
"
(0, 一1)=2. 由于AC一B
2
>0,A>0,所以极小值为f(0, 一1)=一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U584777K
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考研数学二
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