设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

admin2021-03-10 32

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝2ax₁x₂＋2bx₁x₃＋2cx₂x₃，该二次型的矩阵为A，

且Aα₀＝α₀．
(Ⅰ)求a，b，c；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)由题知，A＝[*]，f＝X^TAX，由Aα₀＝α₀，得[*] 从而[*]解得a＝1，b＝1，c＝－1， (Ⅱ)由(Ⅰ)得A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)²＝0得λ₁＝－2，λ₂＝λ₃＝1．由－2E－A→2E＋A＝[*]得λ₁＝－2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*] 由E－A＝[*]得λ₂＝λ₃＝1对应的线性无关的特征向量为α₂＝[*] 令β₁＝α₁＝[*]， β₂＝α₂＝[*]，β₃＝α₃－[*] 单位化得 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

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