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设F(u,v)有连续偏导数,且满足≠0,其中a,b,c≠0为常数,并有曲面S:F(cχ-az,cy-bz)=0,求证: (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量; (Ⅱ)曲面S是以г:=0,为准线.母线平行于l=(a.b.c)的柱面.
设F(u,v)有连续偏导数,且满足≠0,其中a,b,c≠0为常数,并有曲面S:F(cχ-az,cy-bz)=0,求证: (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量; (Ⅱ)曲面S是以г:=0,为准线.母线平行于l=(a.b.c)的柱面.
admin
2018-06-12
76
问题
设F(u,v)有连续偏导数,且满足
≠0,其中a,b,c≠0为常数,并有曲面S:F(cχ-az,cy-bz)=0,求证:
(Ⅰ)曲面S上
点处的法线总垂直于常向量;
(Ⅱ)曲面S是以г:
=0,为准线.母线平行于l=(a.b.c)的柱面.
选项
答案
(Ⅰ)令G(χ,y,z)=F(cχ-az,cy-bz),则曲面S的方程是G(χ,y,z)=0,S上[*]点处的法向量是 n=([*])=(cF′
1
,cF′
2
,-aF′
1
-bF′
2
). [*]n.(a,b,C)=0[*]n⊥(a,b,c)[*]S上[*]点的法线总垂直于常向量(a,b,c). (Ⅱ)过曲线г上[*]点(χ
0
,y
0
,0)以l=(a,b,C)为方向向量的直线L的参数方程是 χ=χ
0
+ta,y=y
0
+tb,z=tc, 要证L在S上.在L上, cχ=cχ
0
+tca,cy=cy
0
+tcb,tc=z, cχ=az=cχ
0
,cy-bz=cy
0
, [*]F(cχ-az,cy-bz)=F(cχ
0
,cy
0
)=0, 即L在曲面S上. 另一方面,曲面S上[*]点(χ
0
,y
0
,z
0
): F(cχ
0
-az
0
,cy
0
-bz
0
)=0. 记cχ
0
-az
0
=cχ
*
,cy
0
-bz
0
=cy
*
[*](χ
*
,y
*
,0)在г上即满足 [*] 点(χ
0
,y
0
,z
0
)在过点(χ
*
,y
*
,0)的直线[*]上,它的方向向量是 l=[*]=c(a,b,c), 即S上[*]点(χ
0
,y
0
,z
0
)在过,上相应点(χ
*
,y
*
,0)以l=(a,b,c)为方向向量的直线上. 因此,曲面S是以г为准线,母线平行于(a,b,c)的柱面.
解析
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考研数学一
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