设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是 ( )

admin2022-09-14 50

问题设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是 ( )

选项 A、设存在X>0，在区间(X，+∞)内fˊ(x)有界，则f(x)在(X，+∞)内亦必有界．
B、设存在X>0，在区间(X，+∞)内f(x)有界，则fˊ(x)在(X，+∞)内亦必有界．
C、设存在δ>0，在(0，δ)内fˊ(x)有界，则fˊ(x)在(0，δ)内亦必有界．
D、设存在δ>0，在(0，δ)内f(x)有界，则fˊ(x)在(0，δ)内亦必有界．

答案C

解析对于区间(0，δ)内任意的x，再另取一固定的x₁，有
f(x)－f(x₁)=fˊ(ξ)(x－x₁)，
f(x)= f(x₁)+ fˊ(ξ)(x－x₁)，
|f(x)|≤|f(x₁)|+M| x－x₁|≤|f(x₁)|+Mδ，
所以f(x)在(0，δ)内必有界，其中M为|fˊ(x)|在(0，δ)内的一个上界．

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