2. 考研
  3. (Ⅰ)下列可表示由双纽线(x2+y2)2=x2－y2围成平面区域的面积的是________． (Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=________．

(Ⅰ)下列可表示由双纽线(x2+y2)2=x2－y2围成平面区域的面积的是________． (Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=________．

admin2020-03-10  52
问题 (Ⅰ)下列可表示由双纽线(x2+y2)2=x2－y2围成平面区域的面积的是________．

(Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=________．
选项
答案A；3πa2
解析 (Ⅰ)双纽线的极坐标方程是：r4=r2(cos20θ－sin2θ)即r2=cos2θ．当θ∈[－π，π]时，仅当时才有r≥0(图3．25)．

由于曲线关于极轴与y轴均对称，如图3．25，只需考虑θ∈部分．由对称性及广义扇形面积计算公式得

故应选A．
(Ⅱ)当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．26．于是图形的面积
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考研数学二

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