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  3. 设x∈(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

设x∈(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

admin2016-09-13  52
问题 设x∈(0，1)，证明下面不等式：
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；
(2)
选项
答案(1)令φ(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且 φˊ(x)=2x－ln2(1+x)－2ln(1+x)，φˊ(0)=0． 当x∈(0，1)时，φˊˊ(x)=[*][x－ln(1+x)]＞0，知φˊ(x)单调递增，从而φˊ(x)＞φˊ(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2． (2)令f(x)=[*]，x∈[0，1]，则有 [*] 由(1)得，当x∈(0，1)时fˊ(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=[*]－1． 又因为[*] 当x∈(0，1)时，fˊ(x)＜0，知f(x)单调递减，且f(x)＜f(0+)=[*]，所以 [*]
解析
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考研数学三

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