2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，B为3阶不可逆矩阵，且B*≠O，AB-2B=O，已知tr(A)=3，则|A*+3E|=( )．

设A为3阶实对称矩阵，B为3阶不可逆矩阵，且B*≠O，AB-2B=O，已知tr(A)=3，则|A*+3E|=( )．

admin2022-12-09  13
问题 设A为3阶实对称矩阵，B为3阶不可逆矩阵，且B*≠O，AB-2B=O，已知tr(A)=3，则|A*+3E|=(  )．
选项 A、7
B、4
C、-7
D、-4
答案A
解析 由r(B)＜3得r(B*)=0或1，因为B*≠O，所以r(B*)=1，于是r(B)=2；
由AB-2B=O得(2E-A)B=O，
即λ=2为矩阵A的特征值，又因为r(B)=2，
所以λ=2为矩阵A的二重特征值，即λ1=λ2=2，再由tr(A)=3得λ3=-1，
由|A|=-4得A*的特征值为一2，一2，4，A’+3E的特征值为1，1，7
故|A*+3E|=7，应选(A)．
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考研数学三

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