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求下列三重积分: (Ⅰ)I=,其中Ω是球体x2+y2+z2≤R2(h>R); (Ⅱ)I=,其中Ω:1≤x+y≤2,x≥0,y≥0,0≤z≤3; (Ⅲ)I=(x3+y3+z3)dV,其中Ω由半球面x2+y2+z2=2z(z≥1)与锥面z=围成.
求下列三重积分: (Ⅰ)I=,其中Ω是球体x2+y2+z2≤R2(h>R); (Ⅱ)I=,其中Ω:1≤x+y≤2,x≥0,y≥0,0≤z≤3; (Ⅲ)I=(x3+y3+z3)dV,其中Ω由半球面x2+y2+z2=2z(z≥1)与锥面z=围成.
admin
2018-11-21
45
问题
求下列三重积分:
(Ⅰ)I=
,其中Ω是球体x
2
+y
2
+z
2
≤R
2
(h>R);
(Ⅱ)I=
,其中Ω:1≤x+y≤2,x≥0,y≥0,0≤z≤3;
(Ⅲ)I=
(x
3
+y
3
+z
3
)dV,其中Ω由半球面x
2
+y
2
+z
2
=2z(z≥1)与锥面z=
围成.
选项
答案
(Ⅰ)积分区域Ω是球体,也是旋转体,结合被积函数特点,还是选用柱坐标变换,并选用先r,z的积分顺序.极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9.58),于是 [*] (Ⅱ)Ω可表示成:Ω:0≤z≤3,(x,y)∈D
xy
,其中D
xy
={(x,y)|x≥0,y≥0,1≤x+y≤2},D
xy
如图9.59.于是I=[*]dxdy. 这里先x后y和先y后x的积分顺序均不可行.作极坐标变换,则D
xy
的极坐标表示为 [*] (Ⅲ)首先由对称性及奇偶性得I=[*]z
3
dV. Ω由半球面及锥面围成.用球坐标变换方便,此时Ω表示为: 0≤θ≤2π,0≤φ≤[*],0≤ρ≤2cosφ, 则 I=∫
0
π
dθ[*]dφ∫
0
2cosφ
ρ
3
cos
3
φ.ρ
2
sinφdρ [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UZg4777K
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考研数学一
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