设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明方程2x－∫0xf(t)dt＝0在(0，1)内有且仅有一个实根。

admin2014-04-17 35

问题设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明方程2x－∫₀^xf(t)dt＝0在(0，1)内有且仅有一个实根。

选项

答案证明：令F(x)＝2x－∫₀^xf(t)dt－1F(x)在[0，1]上连续，F(0)＝－1＜0 F(1)＝1－∫₀¹f(t)dt＞0 ∴F(x)＝0在(0，1)内至少有一个实根，又F’(x)＝2－(x)＞0，F(x)在[0，1]上单增，故F(x)＝0，在(0，1)内有且仅有一个实根。

解析

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