设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1．

admin2019-04-22 76

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ²)(aretan ξ)f’(ξ)=一1．

选项

答案令F(x)=e^f(x)arctanx，x∈[0，1]，则[*] 由定积分中值定理，存在[*]，即F(x₀)=F(1)．显然F(x)在[x₀，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(x₀，1)[*](0，1)，使F’(ξ)=0，即 (1+ξ²)(arctan ξ)f’(ξ)=一1．

解析

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