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已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3)T+k(1,一1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T(i=1,2,3,4,5),试问: (I)α1能否由α2,α3,α4线性表示; (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表示,并说明理由。
已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3)T+k(1,一1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T(i=1,2,3,4,5),试问: (I)α1能否由α2,α3,α4线性表示; (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表示,并说明理由。
admin
2020-01-12
45
问题
已知线性方程组
的通解是(2,1,0,3)
T
+k(1,一1,2,0)
T
,如令α
i
=(a
i
,b
i
,c
i
,d
i
)
T
(i=1,2,3,4,5),试问:
(I)α
1
能否由α
2
,α
3
,α
4
线性表示;
(Ⅱ)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,并说明理由。
选项
答案
(I)注意到α
i
为所给方程组的增广矩阵的列向量,将方程组改写成列向量的形式:x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
5
,对应的齐次线性方程组为x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0, (*)因为(1,一1,2,0)
T
为方程组(*)的解,将其代入得到1.α
1
+(一1)α
2
+2.α
2
+0.α
4
=α
1
一α
2
+2α
3
=0,即α
1
=α
2
—2α
3
+0.α
4
,因而α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示。 (Ⅱ)因方程组(*)的基础解系只含有一个解向量,故r(a)=n一1=4—1=3,因而A的列秩等于3。因为α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,故3=r([α
2
,α
3
,α
4
])=r([α
1
,α
2
,α
3
,α
4
])=r([α
1
,α
2
,α
3
])+1,因而α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。
解析
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0
考研数学三
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=________.
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