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  3. 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

admin2019-07-22  54
问题 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵
选项
答案(1)先求特征值 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ-2)(λ-6)． A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解， [*] 求得一个非零解为(1，1，-1)T，单位化得 γ1=[*](1，1，-1)T． 属于2的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，-1，0)T，单位化得 γ2=[*](1，-1，0)T． 属于6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得 γ3=[*](1，1，2)T． 作正交矩阵 Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q-1AQ=[*] (2)先求特征值 ｜λE-A｜=[*]=(λ-1)2(λ-10)． A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0的非零解， [*] 得(A-E)X=0的同解方程组x1+2x2-2x3=0， 显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，-1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，-1，1)T． 令γ1=α1／‖α1‖=[*](0，1，1)T，γ2是=α2／‖α2‖=[*](4，-1，1)T． 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0的非零解(1，2，-2)T，令 γ3=α3／‖α3‖=(1，2，-2)T／3． 作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)． 则 QTAQ=Q-1AQ=[*]
解析
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考研数学二

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