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考研
构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵
构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵
admin
2019-07-22
48
问题
构造正交矩阵Q,使得Q
T
AQ是对角矩阵
选项
答案
(1)先求特征值 |λE-A|=[*]=λ(λ-2)(λ-6). A的特征值为0,2,6. 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解, [*] 求得一个非零解为(1,1,-1)
T
,单位化得 γ
1
=[*](1,1,-1)
T
. 属于2的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,-1,0)
T
,单位化得 γ
2
=[*](1,-1,0)
T
. 属于6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,1,2)
T
,单位化得 γ
3
=[*](1,1,2)
T
. 作正交矩阵 Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*] (2)先求特征值 |λE-A|=[*]=(λ-1)
2
(λ-10). A的特征值为1,1,10. 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0的非零解, [*] 得(A-E)X=0的同解方程组x
1
+2x
2
-2x
3
=0, 显然α
1
=(0,1,1)
T
是一个解.第2个解取为α
2
=(c,-1,1)
T
(保证了与α
1
的正交性!),代入方程求出c=4,即α
2
=(4,-1,1)
T
. 令γ
1
=α
1
/‖α
1
‖=[*](0,1,1)
T
,γ
2
是=α
2
/‖α
2
‖=[*](4,-1,1)
T
. 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0的非零解(1,2,-2)
T
,令 γ
3
=α
3
/‖α
3
‖=(1,2,-2)
T
/3. 作正交矩阵Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
). 则 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*]
解析
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