首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在[0,π]上连续,且|f(x)dx=0,|f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ0)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且|f(x)dx=0,|f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ0)=0.
admin
2014-01-26
70
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且|f(x)dx=0,|f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
0
)=0.
选项
答案
[详解1] 令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则有F(0)=F(π)=0.又因为 0=∫
0
π
f(x)cosxdx =∫
0
π
F(x) =F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinsxdx =∫
0
π
F(x)sinxdx 令G(x)=∫
0
x
F(t)sintdt,则G(0)=G(π)=0,于是,对G(x)在[0,π]上使用拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0. 因为当∈E(0,π),sinξ≠0,所以有F(ξ)=0.这样就证明了 F(0)-F(ξ)=F(π)=0. 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0, 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0. [详解2] 反证法:令F(x)=∫
0
x
f(t)dt.则有F(0)=F(π)-0.由罗尔定理知,存在ξ
1
∈(0,π),使F’(ξ
1
)=f(ξ)=0. 假设在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ
1
,则由∫
0
π
f(x)dx=0可知,f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
1
,π)内异号,不妨设在(0,ξ
1
)内f(x>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0.于是再由∫
0
π
f(x)dx=0 与∫
0
π
f(x)cosxdx及cosx盯在[0,π]上的单调性知: 与∫
0
π
f(x)cosxdx及cosx盯在[0,π]上的单调性知: 0=∫
0
π
f(x)(cosx-cosξ
1
)dx =∫
0
ξ
1
f(x)(cosx—cosξ
1
)dx+∫
ξ
1
π
f(x)(cosx-cosξ
1
)dx>0, 矛盾.从而推知,在(0,π)内除ξ
1
外,f(x)=0至少还有另一个实根ξ
2
,故知存在实根ξ
1
,ξ
2
∈(0,π),ξ
1
≠ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
[分析] 本题直接用连续函数的介值定理是困难的,可考虑作辅助函数F(x)= ∫
0
x
f(t)dt,显然有F(0)=F(π)=0,但要最终证明结论,还需另找F(x)的一个零点,这当然要由第二个条件∫
0
π
f(x)cosxdx=0来实现.为了使其与F(x)联系起来,可将其变换为
0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
F(x),再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的.
[评注1] 证明f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有k+1个零点.F(x)=∫
0
x
f(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数,应当引起注意.
[评注2] 详解1中的ξ和详解2中的ξ
1
均可由积分中值定理得到,请读者自己思考.
积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈(a,b),使
∫
a
b
f(x)dx=f(ξ)(b-a).
[评注3] 证明介值问题,一般有两种情形:
1.要证的结论与某函数在某一点的函数值f(ξ)有关,但与其导数值无关,可考虑用连续函数的介值定理;
2.要证的结论与某函数在某一的导数值f’(ξ)(或更高阶导数值)有关,则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式).
但是根据(∫
a
x
f(t)dt)’=f(x)知,若要证的结论与导数无关,用连续函数的介值定理又解决不了时,也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数,通过微分中值定理进行证明.这是一个例外的隐含情形,应当引起注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VQ34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[*]
[2015年]设矩阵相似于矩阵求a,b的值;
(1987年)设求y’.
(99年)假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(χ,y)|0≤χ≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布,记(1)求U和V的联合分布;(2)求U和V的相关系数r.
(05年)设二元函数z=χeχ+y+(χ+1)ln(1+y),则dz|(1,0)=_______.
(96年)累次积分f(rcosθ,rsinθ)rdr可以写成【】
(2010年)设f(x)=ln10x,g(x)=x,h(x)=,则当x充分大时有()
设f(x)连续,且f(0)=0,f’(0)=2,求极限。
求∫e2x(tanx+1)2dx.
设F(x)=∫xx+2πesintsintdt,则F(x)().
随机试题
李某,男性,34岁。因脑部外伤诱发成疾,头晕健忘,时发头痛,常有一时性神志丧失,伴见四肢抽动,舌质暗,苔薄白,脉弦,中医辨证以下列哪项为主
张义幼年之时,生母死亡,埋葬在一块田地旁边。同族人张为放火烧荒,火苗把张义母亲的坟给烧毁了。张义的同胞姐姐暗中把这件事告诉了他,张义虽然年幼,但悲伤如同在守丧期间一样,长大后也不结婚。后来,他终于手持利刃,杀了张为,以为母亲尽孝,复了仇。依据《大清律例》及
公路工程对土工织物及相关产品的要求主要是()和加筋、防渗和防护作用。
设备工程成本控制的主体是()。
下列关于资源税税收优惠的表述,不正确的有()。
在生产中采用了节省劳动力的新技术后所造成的失业,称之为()。
下列有关诉讼时效的表述中,正确的是()。
下列说法中正确的是()。
PASSAGEONEGiveatitleforthepassage.
A、Ahoneymoonsuitefor$250forthenightandfreebreakfastofChinesestyle.B、Ahoneymoonsuitefor$225forthenightandf
最新回复
(
0
)