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An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?

admin2018-08-12  30
问题 An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?
选项
答案方法一 B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)[*] 由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜=｜A｜[*] =｜A｜[1+(-1)n+1]， 当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解； 当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解． 方法二 BX=0[*]x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0 [*](x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0， 因为α1，α2，…，αn线性无关， 所以[*]=1+(-1)n+1， 当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解； 当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．
解析
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考研数学二

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